Annuitātes pašreizējās un nākotnes vērtības aprēķināšana

Kādā dzīves brīdī jums, iespējams, nācās veikt virkni fiksētu maksājumu noteiktā laika posmā, piemēram, īres vai auto maksājumus, vai arī noteiktā laika posmā esat saņēmis virkni maksājumu, piemēram, procentus no obligācijām vai Kompaktdiski. Tos sauc par ikgadējiem maksājumiem (vārda vispārīgāks lietojums - nejaukt ar konkrēto finanšu produktu, ko sauc par mūža renti, lai gan abi ir saistīti). Ja jūs saprotat naudas laika vērtību, esat gatavs uzzināt par ikgadējiem maksājumiem un to pašreizējās un nākotnes vērtības aprēķināšanu.

Kas ir ikgadējie maksājumi?

Annuities būtībā ir virkne fiksētu maksājumu, kas no jums tiek prasīti vai tiek samaksāti noteiktā periodiski noteiktā laika posmā. Maksājumu biežums var būt gads, pusgada (divas reizes gadā), ceturksnis un mēnesis. Pastāv divi galvenie mūža rentes veidi: parastās un ikgadējās izmaksas.

• Parastā rente: maksājumi jāveic katra perioda beigās. Piemēram, tiešās obligācijas parasti veic kupona maksājumus ik pēc sešiem mēnešiem līdz obligāciju dzēšanas datumam.
• Apmaksājamais mūža rente: maksājumi jāveic katra perioda sākumā. Īre ir rentes piemērs. Parasti jums jāmaksā īre, kad pirmo reizi ieceļaties mēneša sākumā un pēc tam katra mēneša pirmajā dienā.

Tā kā pašreizējo un nākotnes vērtību aprēķini parastiem un ikgadējiem maksājumiem ir nedaudz atšķirīgi, mēs tos apspriedīsim atsevišķi.

Parastās ikgadējās izmaksas

Nākotnes vērtības aprēķināšana

Ja jūs zināt, cik daudz jūs varat ieguldīt vienā periodā noteiktā laika posmā, parastās mūža rentes formulas nākotnes vērtība (FV) ir noderīga, lai uzzinātu, cik daudz jums nākotnē būtu. Ja jūs veicat maksājumus par aizdevumu, nākotnes vērtība ir noderīga, nosakot aizdevuma kopējās izmaksas. Ja jūs zināt, cik daudz jūs plānojat ieguldīt katru gadu, un fiksēto atdeves likmi, ko piešķir jūsu mūža rentes garantijas - vai, aizdevumiem, maksājuma summa un noteiktā procentu likme -, jebkurā brīdī varat viegli noteikt sava konta vērtību. nākotne.

Tagad apskatīsim 1. piemēru. Apsveriet šādu mūža rentes naudas plūsmas grafiku:

Lai aprēķinātu mūža rentes nākotnes vērtību, mums jāaprēķina katras naudas plūsmas nākotnes vērtība. Pieņemsim, ka nākamos piecus gadus jūs katru gadu saņemat USD 1000 un katru maksājumu ieguldāt ar 5% procentiem. Šī diagramma parāda, cik daudz jums būtu piecu gadu perioda beigās:

Tā kā mums jāpievieno katra maksājuma nākotnes vērtība, jūs, iespējams, pamanījāt, ka, ja jums ir parasta rente ar daudzām naudas plūsmām, būtu nepieciešams ilgs laiks, lai aprēķinātu visas nākotnes vērtības un pēc tam tās saskaitītu. Par laimi matemātika nodrošina formulu, kas kalpo kā saīsne, lai atrastu visu naudas plūsmu uzkrāto vērtību, kas saņemta no parastās rentes:

FVO parastais mūža rente = C × [(1 + i) n − 1i] kur: C = naudas plūsma par periodu = procentu nokavējums = maksājumu skaits \ sākas {saskaņots} & \ teksts {FV} _ {\ teksts {parasts ~ mūža rente }} = \ teksts {C} \ reizes \ liels [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ liels] \\ & \ textbf {kur:} \\ & \ teksts {C} = \ teksts {Naudas plūsma par periodu} \\ & i = \ teksts {Procentu likme} \\ & n = \ teksts {Maksājumu skaits} \\ \ beigas {izlīdzināts} FVO parastais mūža rente = C × [i (1 + i) n − 1], kur: C = naudas plūsma par periodu = procentu likme = maksājumu skaits

Izmantojot iepriekš minēto 1. piemēra formulu, iegūst šādu rezultātu:

FVO parastais mūža rente = 1000 USD × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] = 1000 USD × [5, 53] \ sākas {saskaņots} \ teksts {FV} _ {\ teksts {parasts ~ Annuity}} & = \ USD 1000 \ reizes \ pa kreisi [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ pa labi] \\ & = \ $ 1000 \ reizes [5.53] \\ & = \ $ 5525.63 \ beigas {saskaņots} FVO parastais mūža rente = 1000 USD × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] = 1000 ASV dolāru × [5, 53]

Pašreizējās vērtības aprēķināšana

Ņemiet vērā, ka viena centa starpība starp 5 525, 64 un 5 525, 63 USD rodas noapaļošanas kļūdas dēļ pirmajā aprēķinā. Katrai pirmā aprēķina vērtībai jābūt noapaļotai līdz tuvākajai cenai - jo vairāk jums jāaprēķina skaitļi aprēķinā, jo iespējamākas būs noapaļošanas kļūdas. Iepriekš minētā formula ne tikai nodrošina saīsni parastās rentes FV atrašanai, bet arī sniedz precīzāku rezultātu.

Annuitātes pašreizējā vērtība ir vienkārši visu ienākumu pašreizējā vērtība, ko nākotnē gūst no šiem ieguldījumiem. Šis aprēķins tiek pamatots ar naudas laika vērtības jēdzienu, kurā teikts, ka tagad dolāra vērtība ir lielāka nekā nākotnē nopelnītā dolāra vērtība. Tādēļ pašreizējās vērtības aprēķinos tiek izmantots laika periodu skaits, kuros ienākumi tiek gūti, lai diskontētu nākotnes maksājumu vērtību.

Ja vēlaties noteikt nākotnes maksājumu sērijas vērtību šodien, jums jāizmanto formula, kas aprēķina parasto mūža rentes pašreizējo vērtību (PV). Šī ir formula, kuru jūs izmantotu kā daļu no obligāciju cenu aprēķināšanas. Parastās mūža rentes PV aprēķina kupona maksājumu pašreizējo vērtību, ko jūs saņemsit nākotnē.

2. piemērā mēs izmantosim to pašu mūža rentes naudas plūsmas grafiku, kā mēs darījām 1. piemērā. Lai iegūtu kopējo diskontēto vērtību, mums jāņem katra nākamā maksājuma pašreizējā vērtība un, kā mēs darījām 1. piemērā, jāpievieno naudas plūsmas kopā.

Atkal visu šo vērtību aprēķināšana un pievienošana prasīs daudz laika, it īpaši, ja mēs gaidām daudzus turpmākus maksājumus. Lai arī daudzi tiešsaistes kalkulatori var noteikt ikgadējās rentes pašreizējo vērtību, parastās mūža rentes formulu nav pārāk sarežģīti aprēķināt ar roku, ja mēs izmantojam matemātisku saīsni PV no parasta mūža rentes.

PV parastais mūža rente = C × [1− (1 + i) −ni] \ teksts {PV} _ {\ teksts {parastais ~ mūža rente}} = \ teksts {C} \ reizes \ lielais [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVparastais mūža rente = C × [i1− (1 + i) −n]

Formula nodrošina mūs ar PV dažās vienkāršās darbībās. Šeit ir aprēķināts mūža rente, kas parādīta 2. piemēra diagrammā:

PV parastais mūža rente = 1000 USD × [1− (1 + 0, 05) −50, 05] = 1000 USD × [4, 33] \ sākas {saskaņots} \ teksts {PV} _ {\ teksts {parasts ~ ikgadējs maksājums}} & = \ USD 1000 \ reizes \ Liels [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Big] \\ & = \ $ 1000 \ reizes [4.33] \\ & = \ $ 4329.48 \ beigas {saskaņots} PVParastā mūža rente = 1000 USD × [0, 051− (1 + 0, 05) −5] = 1000 USD × [4, 33]

Nākotnes vērtības aprēķināšana

Kad saņemat vai maksājat naudas plūsmas par gada rentu, jūsu naudas plūsmas grafiks parādīsies šādi:

Tā kā katrs sērijas maksājums tiek veikts par vienu periodu ātrāk, formula ir jāatstāj atlaide par vienu periodu atpakaļ. Nedaudz mainītas rentes FV-of-annuity formula attiecas uz maksājumiem, kas notiek katra perioda sākumā. 3. piemērā parādīsim, kāpēc šī modifikācija ir nepieciešama, kad katrs maksājums USD 1 000 tiek veikts perioda sākumā, nevis beigās (procentu likme joprojām ir 5%):

Ievērojiet, ka tad, kad maksājumi tiek veikti perioda sākumā, katra summa perioda beigās tiek turēta ilgāk. Piemēram, ja USD 1000 tika ieguldīti katra gada 1. janvārī, nevis 31. decembrī, pēdējais maksājums pirms mūsu ieguldījuma novērtēšanas piecu gadu beigās (31. decembrī) būtu veikts gadu pirms (1. janvārī), nevis tajā pašā dienā, kad tas tiek novērtēts. Annuitātes formulas nākotnes vērtība būtu šāda:

FVAnnuity pienākas = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ pa labi] \ reizes (1 + i) FVAnodoklis pienākas = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Tāpēc

FVAnnuity pienākas = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ sākas {saskaņots} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ pa labi] \ reizes (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ reizes5, 53 \ times1.05 \\ & = \ $ 5801, 91 \ beigas { izlīdzināts} FVAnnuity pienākas = 1000 USD × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = 1000 USD × 5, 53 × 1, 05

Gada rente

Pašreizējās vērtības aprēķināšana

Lai aprēķinātu pašreizējās vērtības rentes, kurai pienākas mūža rente, formulu vajadzētu diskontēt par vienu periodu uz priekšu, jo maksājumi tiek turēti īsāku laika periodu. Aprēķinot pašreizējo vērtību, mēs pieņemam, ka pirmais maksājums tika veikts šodien.

Mēs varētu izmantot šo formulu, lai aprēķinātu jūsu turpmāko īres maksājumu pašreizējo vērtību, kā norādīts nomas līgumā, kuru jūs parakstāt ar savu saimnieku. Pieņemsim, ka jūs veicat pirmo īres maksu (skat. 4. piemēru zemāk) mēneša sākumā un novērtējat piecu mēnešu nomas pašreizējo vērtību tajā pašā dienā. Jūsu pašreizējās vērtības aprēķins darbosies šādi:

Protams, mēs varam izmantot formulas saīsni, lai aprēķinātu maksājamo mūža rentes pašreizējo vērtību:

PVA mūža rente = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ teksts {Gada pensija pienākas}} = C \ reizes \ pa kreisi [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ pa labi] \ reizes (1 + i) PVA mūža rente pienākas = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Tāpēc

PVA mūža rente = 1000 USD × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 USD × 4, 33 × 1, 05 \ sākas {jāsaskaņo} PV _ {\ teksts {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ reizes) \ pa kreisi [\ frac {(1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ right] \ times (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ 4545, 95 $ \ beigas {izlīdzināts} PVAnnuity pienākas = 1000 USD × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] ×) (1 + 0, 05) = 1000 USD × 4, 33 × 1, 05

Atgādiniet, ka parastās rentes pašreizējā vērtība atdeva vērtību 4 329, 48 USD. Parastās mūža rentes pašreizējā vērtība ir mazāka nekā maksājamā annuitāte, jo jo tālāk mēs diskontējam nākotnes maksājumu, jo zemāka ir tā pašreizējā vērtība - katrs maksājums vai naudas plūsma parastajā mūža rencē notiek vienu periodu tālāk nākotnē.

Naudas laika vērtība

Nākotnes vērtības aprēķins balstās uz naudas laika vērtības jēdzienu. Tas vienkārši nozīmē, ka šodien nopelnītais dolārs ir vairāk vērts nekā rīt nopelnītais dolārs, jo tagad kontrolētos līdzekļus var ieguldīt un laika gaitā nopelnīt procentus. Tāpēc mūža rentes nākotnes vērtība ir lielāka nekā visu jūsu ieguldījumu summa, jo šīs iemaksas laika gaitā ir nopelnījušas procentus. Piemēram, nākotnes vērtība USD 1 000, kas šodien ieguldīta ar 10% procentu likmi, ir USD 1 100 viena gada laikā no šī brīža. Naudas laika vērtības dēļ šodien viena dolāra vērtība ir USD 1, 10 gadā.

Pieņemsim, ka veicat ikgadējus maksājumus 5000 USD apmērā no jūsu parastās mūža rentes 15 gadu laikā. Tas nopelna 9% procentu, katru gadu to papildinot.

FV = 5000 USD × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5000 USD × {((1, 0915) −1) ÷ 0, 09} = 5000 USD × 2, 642 ÷ 0, 09 \ sākas {saskaņots} FV & = \ $ 5000 \ reizes \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \} \\ & = \ $ 5000 \ times \ {((1.09 ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \ } \\ & = \ 5000 USD \ reizes 2.642 \ div 0.09 \\ & = \ 5000 USD \ reizes \ 146 804.58 \ beigas {izlīdzinātas} FV = 5000 USD × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5000 USD × {((1.0915) −1) ÷ 0.09} = 5000 USD × 2.642 ÷ 0.09

Bez interešu apvienošanas jūsu 5000 USD iemaksu sērija 15 gadu beigās ir USD 75 000 vērtībā. Tā vietā, ja ir salikti procenti, jūsu mūža rentes nākotnes vērtība ir gandrīz divas reizes augstāka nekā USD 146 804, 58.

Lai aprēķinātu maksājamā mūža rentes nākotnes vērtību, vienkārši reiziniet parasto nākotnes vērtību ar 1+ i (procentu likme). Iepriekš minētajā piemērā anuitātes nākotnes vērtība ar tādiem pašiem parametriem ir vienkārši USD 146, 804, 58 x (1 + 0, 09) vai $ 160, 016, 99.

Pašreizējie vērtības apsvērumi

Aprēķinot mūža rentes pašreizējo vērtību, ir svarīgi, lai visi mainīgie būtu konsekventi. Ja, piemēram, mūža rente rada gada maksājumus, procentu likme jāizsaka arī kā gada likme. Piemēram, ja mūža rente rada ikmēneša maksājumus, procentu likme jāizsaka arī kā mēneša likme.

Pieņemsim, ka mūža rentei ir 10% procentu likme, kas nākamajiem 15 gadiem rada ikgadējus maksājumus 3000 USD apmērā. Šīs rentes pašreizējā vērtība ir:

= 3000 USD × (((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3000 USD × ((1 − .239392) ÷ 0, 1) = 3000 USD × (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3000 USD × 7, 60608 \ sākas {izlīdzināts } & = \ $ 3000 \ reizes (((1 - (1 + 0, 1) ^ {- 15})) \ div. 0, 1) \\ & = \ $ 3 000 \ reizes ((1 - .239392) \ div. 0, 1) \\ & = \ 3000 USD \ reizes (0, 760608 \ div 0, 1) \\ & = \ 3000 USD \ reizes 7.60608 \\ & = \ $ 22 818 \ beigas {izlīdzinātas} = 3000 USD × (((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3000 USD × ((1 −2 39392) ÷ 0, 1) = 3000 USD × (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3000 USD × 7, 60608

Annuitātes pašreizējā vērtība

Grunts līnija

Tagad jūs varat redzēt, kā ikgadējie maksājumi ietekmē to, kā jūs aprēķināt jebkuras naudas summas pašreizējo un nākotnes vērtību. Atcerieties, ka maksājumu biežums vai maksājumu skaits un laiks, kurā šie maksājumi tiek veikti (neatkarīgi no tā, vai katra maksājuma perioda sākumā vai beigās) ir visi mainīgie lielumi, kas jums jāņem vērā aprēķinos.

Plānojot pensionēšanos, ir svarīgi labi zināt, cik daudz ienākumu jūs varat paļauties katru gadu. Lai arī var būt samērā viegli izsekot tam, cik daudz jūs iemaksājat darba devēju sponsorētos pensiju plānos, individuālajos pensiju kontos (IRA) un ikgadējos maksājumos, ne vienmēr ir tik viegli uzzināt, cik daudz jūs nopelnīsit. Par laimi, runājot par fiksētas likmes mūža rencēm vai plāniem, kas ieguldīti fiksētas likmes vērtspapīros, ir vienkāršs veids, kā aprēķināt, cik daudz naudas jūs varat sagaidīt pēc pensionēšanās, pamatojoties uz to, cik daudz jūs esat ielicis kontā darba gadu laikā .