Optimizējiet savu portfeli, izmantojot parasto izplatīšanu

Normāls sadalījums ir varbūtības sadalījums, kas visas savas vērtības izliek simetriski, un lielākā daļa rezultātu atrodas ap varbūtības vidējo.

Normāls (zvanu līknes) sadalījums

Datu kopām (piemēram, 100 cilvēku augumam, atzīmēm, kuras iegūst 45 skolēni klasē utt.) Parasti ir daudz vērtību tajā pašā datu punktā vai tajā pašā diapazonā. Šo datu punktu sadalījumu sauc par parasto jeb zvanu līknes sadalījumu.

Piemēram, 100 cilvēku grupā 10 var būt zemāki par 5 pēdām, 65 var stāvēt no 5 līdz 5, 5 pēdām un 25 var būt virs 5, 5 pēdām. Šo diapazonam noteikto sadalījumu var attēlot šādi:

Līdzīgi datu punkti, kas diagrammās attēloti kādai konkrētai datu kopai, var līdzināties dažāda veida sadalījumiem. Trīs visizplatītākās ir izlīdzinātas pa kreisi, pa labi un sagriezti sadalījumi:

Katrā no šiem diagrammām ņemiet vērā sarkano tendences līniju. Tas aptuveni norāda datu izplatīšanas tendenci. Pirmais, “LEFT Alignment Distribution”, norāda, ka lielākajai daļai datu punktu ir zemāks diapazons. Otrajā diagrammā “RIGHT Alignment Distribution” vairākums datu punktu atrodas diapazona augstākajā galā, savukārt pēdējais “Jumbled Distribution” attēlo jauktu datu kopu bez skaidrām tendencēm.

Ir daudz gadījumu, kad datu punktu sadalījums mēdz būt ap centrālo vērtību, un šis grafiks parāda perfektu normālo sadalījumu - vienlīdz līdzsvarotu abās pusēs, un centrā ir koncentrēts vislielākais datu punktu skaits.

Šeit ir ideāla, parasti izplatīta datu kopa:

Centrālā vērtība šeit ir 50 (kurai ir visvairāk datu punktu), un sadalījums vienmērīgi sašaurinās pret galējām gala vērtībām 0 un 100 (kurām ir vismazākais datu punktu skaits). Normālais sadalījums ir simetrisks ap centrālo vērtību ar pusi no vērtības katrā pusē.

Zvanu līknes sadalījumam ir piemēroti daudzi reālās dzīves piemēri:

• Nometiet godīgu monētu vairākas reizes (teiksim, 100 reizes vai vairāk), un jūs iegūsit līdzsvarotu normālu galvu un astes sadalījumu.
• Pārlejiet taisnīgu kauliņu pāri vairākas reizes (teiksim, 100 un vairāk reizes), un rezultāts būs līdzsvarots, normāls sadalījums, kura centrā ir skaitlis 7 un vienmērīgi sašaurināsies pie galējām vērtībām 2 un 12.
• Gan indivīdu augstums ievērojama lieluma grupā, gan atzīmes, ko iegūst klases cilvēki, ievēro normālu sadalījuma modeli.
• Finansēs - izmaiņas žurnāla vērtībās Tiek pieņemts, ka parasti tiek izplatītas forex likmes, cenu indeksi un akciju cenas.

Risks un atgriešanās

Jebkuram ieguldījumam ir divi aspekti: risks un atdeve. Investori meklē iespējami zemu risku, lai iegūtu pēc iespējas lielāku atdevi. Normāls sadalījums kvantitatīvi nosaka šos divus aspektus ar vidējo atdevi un standarta novirzi no riska. (Plašāku informāciju skatiet sadaļā “Vidējā varianta analīze”.)

Vidējā vai paredzamā vērtība

Īpašas vidējās akcijas cenas izmaiņas dienā varētu būt 1, 5% - tas nozīmē, ka vidēji tās palielinās par 1, 5%. Šo vidējo vērtību vai paredzamo vērtību, kas norāda atgriešanos, var iegūt, aprēķinot vidējo pietiekami lielā datu kopā, kurā ir vēsturiskas šī krājuma ikdienas cenu izmaiņas. Jo augstāks vidējais, jo labāk.

Standarta novirze

Standarta novirze norāda summu, par kādu vērtības vidēji atšķiras no vidējās. Jo augstāka standartnovirze, jo riskantāks ir ieguldījums, jo tas rada lielāku nenoteiktību.

Šeit parādīts tā paša grafiskais attēlojums:

Tādējādi normāla sadalījuma grafiskais attēlojums caur tā vidējo un standartnovirzi ļauj attēlot gan ienesīgumu, gan risku skaidri noteiktā diapazonā.

Tas palīdz zināt (un būt pārliecinātam par pārliecību), ka, ja kāda datu kopa atbilst normālam sadalījuma paraugam, tā vidējā vērtība ļaus mums zināt, kas atgriežas gaidāmajā, un tā standartnovirze ļaus mums zināt, ka aptuveni 68% no vērtībām būs 1 standarta novirzes robežās, 95% - 2 standarta noviržu robežās un 99% vērtību - 3 standarta noviržu robežās. Datu kopa, kuras vidējā vērtība ir 1, 5 un standartnovirze ir 1, ir daudz riskantāka nekā cita datu kopa, kuras vidējā vērtība ir 1, 5 un standartnovirze ir 0, 1.

Zinot šīs vērtības katram izvēlētajam aktīvam (ti, akcijām, obligācijām un fondiem), ieguldītājs apzināsies paredzamo ienesīgumu un riskus.

Šo jēdzienu ir viegli pielietot un tas atspoguļo risku un atdevi no viena akcijas, obligācijas vai fonda. Bet vai to var attiecināt uz vairāku aktīvu portfeli ">

Privātpersonas sāk tirdzniecību, pērkot atsevišķu akciju vai obligāciju vai veicot ieguldījumus kopieguldījumu fondā. Pakāpeniski viņiem ir tendence palielināt savu līdzdalību un iegādāties vairākus akcijas, fondus vai citus aktīvus, tādējādi izveidojot portfeli. Šajā papildu scenārijā indivīdi veido savus portfeļus bez stratēģijas vai daudz pārdomātas. Profesionāli fondu pārvaldnieki, tirgotāji un tirgus veidotāji izmanto sistemātisku metodi sava portfeļa veidošanai, izmantojot matemātisku pieeju, ko sauc par mūsdienu portfeļa teoriju (MPT), kuras pamatā ir “normāla sadalījuma” jēdziens.

Mūsdienu portfeļa teorija

Mūsdienu portfeļa teorija (MPT) piedāvā sistemātisku matemātisku pieeju, kuras mērķis ir palielināt portfeļa paredzamo atdevi noteiktam portfeļa riska apmēram, izvēloties dažādu aktīvu proporcijas. Pārmaiņus tas piedāvā arī samazināt risku noteiktam paredzamās atdeves līmenim.

Lai sasniegtu šo mērķi, portfelī iekļaujamos aktīvus neizvēlas, pamatojoties tikai uz viņu individuālajiem nopelniem, bet gan uz to, kā katrs aktīvs darbosies attiecībā pret citiem portfeļa aktīviem.

Īsumā MPT definē, kā vislabāk sasniegt portfeļa diversifikāciju, lai iegūtu labākos iespējamos rezultātus: maksimālo atdevi pieņemamam riska līmenim vai minimālu risku vēlamajam atdeves līmenim.

Celtniecības bloki

MPT bija tik revolucionārs jēdziens, kad tika ieviests, ka tā izgudrotāji ieguva Noble balvu. Šī teorija veiksmīgi sniedza matemātisku formulu, kas virza diversifikāciju investīcijās.

Diversifikācija ir riska pārvaldības metode, kas novērš “visas olas vienā grozā” risku, veicot ieguldījumus savstarpēji nesaistītos akcijās, sektoros vai aktīvu klasēs. Ideālā gadījumā viena portfeļa aktīva pozitīvais rādītājs atcels citu aktīvu negatīvo sniegumu.

Lai ņemtu vidējo portfeļa atdevi, kurā nav n dažādu aktīvu, tiek aprēķināta sastāvdaļu aktīvu atdeves proporcionālā kombinācija.

Statistisko aprēķinu un normālā sadalījuma rakstura dēļ kopējo portfeļa ienesīgumu (R _p ) aprēķina šādi:

Rp = ∑wiRiR_p = \ summa {w_iR_i} Rp = ∑wi Ri

Summa (∑), kur w _i ir portfeļa i aktīva proporcionālais svars, R _i ir i aktīva atdeve (vidējā).

Portfeļa risks (vai standarta novirze) ir iekļauto aktīvu korelācijas funkcija visiem aktīvu pāriem (attiecībā pret otru pārī).

Statistisko aprēķinu un normālā sadalījuma rakstura dēļ kopējo portfeļa risku (Std-dev) _p aprēķina šādi:

(Std-dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] \ sākas {saskaņots} & \ pa kreisi (Std-dev \ pa labi) _p = \ \ & sqrt \ pa kreisi [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ pa kreisi (std-dev \ pa labi) _i \ pa kreisi (std-dev \ pa labi) _j \ pa kreisi (cor-cof_ {ij} \ pa labi) \ pa labi] \\ \ beigas {izlīdzināts} (Std-dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] Visiem, kas tajaa, tas ir jaa.

Šeit cor-cof ir korelācijas koeficients starp aktīvu i un j atdevi, un sqrt ir kvadrātsakne.

Tas rūpējas par katra aktīva relatīvo darbību attiecībā pret otru.

Lai arī tas šķiet matemātiski sarežģīts, šeit izmantotais vienkāršais jēdziens ietver ne tikai atsevišķo aktīvu, bet arī saistīto aktīvu standartnovirzes viens pret otru.

Labs piemērs šeit ir pieejams no Vašingtonas universitātes.

Īss MPT piemērs

Kā domu eksperimentu iedomāsimies, ka mēs esam portfeļa pārvaldnieks, kuram ir piešķirts kapitāls un kura uzdevums ir noteikt, cik daudz kapitāla būtu jāpiešķir diviem pieejamiem aktīviem (A & B), lai maksimāli palielinātu paredzamo atdevi un samazinātu risku.

Mums ir pieejamas arī šādas vērtības:

Ra = 0, 175

Rb = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

Sākot ar vienādu 50-50 piešķīrumu katram A un B aktīvam, R _p aprēķina līdz 0, 115 un (Std-dev) _p ir līdz 0, 323. Vienkāršs salīdzinājums mums saka, ka šī 2 aktīvu portfeļa atdeve, kā arī risks ir pusceļā starp katra aktīva individuālajām vērtībām.

Tomēr mūsu mērķis ir uzlabot portfeļa atdevi, pārsniedzot katra atsevišķa aktīva vidējo rādītāju, un samazināt risku, lai tas būtu zemāks par atsevišķo aktīvu atdevi.

Tagad pieņemsim 1, 5 kapitāla sadales pozīciju aktīvā A un –0, 5 kapitāla piešķiršanas pozīciju aktīvā B (Negatīvs kapitāla sadalījums nozīmē saīsināšanu, ka saņemtie krājumi un kapitāls tiek izmantoti, lai nopirktu otra aktīva pārpalikumu ar pozitīvu kapitāla sadalījumu.) citiem vārdiem sakot, mēs saīsinām akciju B līdz 0, 5 reizes kapitālam un izmantojam šo naudu, lai nopirktu A akciju 1, 5 reizes lielākai kapitālam.)

Izmantojot šīs vērtības, mēs iegūstam Rp kā 0.1604 un (Std-dev) _p kā 0.4005.

Līdzīgi mēs varam turpināt izmantot dažādus sadalījuma svarus A un B aktīvam un nonākt pie dažādām Rp un (Std-dev) p kopām. Atbilstoši vēlamajai atdevei (Rp) var izvēlēties pieņemamāko riska līmeni (std-dev) p. Pārmaiņus vēlamajam riska līmenim var izvēlēties labāko pieejamo portfeļa ienesīgumu. Jebkurā gadījumā ar šī portfeļa teorijas matemātiskā modeļa palīdzību ir iespējams sasniegt mērķi izveidot efektīvu portfeli ar vēlamo riska un ienesīguma kombināciju.

Automatizēto rīku izmantošana ļauj viegli un vienmērīgi noteikt vislabākās iespējamās iedalītās proporcijas, neveicot ilgstošus manuālus aprēķinus.

Efektīvā robeža, kapitāla aktīvu cenu noteikšanas modelis (CAPM) un aktīvu cenu noteikšana, izmantojot MPT, arī attīstās no tā paša parastā izplatīšanas modeļa un ir MPT paplašinājums.

Izaicinājumi MPT (un normālā izplatīšanas pamatā)

Diemžēl neviens matemātiskais modelis nav ideāls, un katram no tiem ir nepilnības un ierobežojumi.

Pamatpieņēmums, ka akciju cenu atgriešanās notiek pēc normālas izplatīšanas, tiek apšaubīts atkal un atkal. Ir pietiekami daudz empīrisku pierādījumu par gadījumiem, kad vērtības neatbilst pieņemtajam normālajam sadalījumam. Kompleksu modeļu balstīšana uz šādiem pieņēmumiem var izraisīt rezultātus ar lielām novirzēm.

Iedziļinoties MPT, aprēķiniem un pieņēmumiem par korelācijas koeficientu un kovariāciju, kas paliek nemainīgi (balstoties uz vēsturiskajiem datiem), var nebūt taisnība attiecībā uz gaidāmajām nākotnes vērtībām. Piemēram, obligāciju un akciju tirgi parādīja perfektu korelāciju Apvienotās Karalistes tirgū no 2001. līdz 2004. gadam, kur ienesīgums no abiem aktīviem samazinājās vienlaicīgi. Patiesībā apgriezts ir novērots ilgos vēsturiskos periodos pirms 2001. gada.

Investoru uzvedība šajā matemātiskajā modelī netiek ņemta vērā. Nodokļi un darījumu izmaksas tiek atstātas novārtā, kaut arī tiek pieņemta daļēja kapitāla sadale un iespēja saīsināt aktīvus.

Patiesībā neviens no šiem pieņēmumiem var neatbilst patiesībai, kas nozīmē, ka reāli gūtie finanšu ienākumi var ievērojami atšķirties no paredzamās peļņas.

Grunts līnija

Matemātiskie modeļi nodrošina labu mehānismu dažu mainīgo lielumu kvantitatīvai noteikšanai ar vieniem, izsekojamiem skaitļiem. Bet pieņēmumu ierobežotības dēļ modeļi var neizdoties.

Normāls sadalījums, kas veido portfeļa teorijas pamatu, var nebūt piemērojams akcijām un citiem finanšu aktīvu cenu modeļiem. Portfeļa teorijai pati par sevi ir daudz pieņēmumu, kas pirms svarīgu finanšu lēmumu pieņemšanas būtu kritiski jāizvērtē.