Beija teorēmas definīcija
Beisija teorēma, kas nosaukta pēc 18. gadsimta britu matemātiķa Tomasa Bajesa, ir matemātiska formula nosacītās varbūtības noteikšanai. Teorēma nodrošina veidu, kā pārskatīt esošās prognozes vai teorijas (atjaunināšanas varbūtības), ņemot vērā jaunus vai papildu pierādījumus. Finansēs Bajesa teorēmu var izmantot, lai novērtētu risku aizdot naudu potenciālajiem aizņēmējiem.
Beisija teorēma tiek saukta arī par Beisa likumu vai Beisa likumu, un tā ir Beisija statistikas lauka pamatā.
Taustiņu izņemšana
- Beija teorēma ļauj atjaunināt paredzamās notikuma varbūtības, iekļaujot jaunu informāciju.
- Beisija teorēma tika nosaukta pēc 18. gadsimta matemātiķa Tomasa Bajesa.
- To bieži izmanto finanšu jomā, atjauninot riska novērtējumu.
Bailsa teorēmas formula ir
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) kur: P (A) = varbūtība, ka notiek P (B) = B iestāšanās varbūtībaP (A∣B) = A varbūtība, ka dots BP (B∣A) = B varbūtība, ņemot vērā AP (A⋂B)) = Gan A, gan B varbūtība \ sākties {saskaņots} & P \ pa kreisi (A | B \ pa labi) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} \ right)} {P \ left (B \ right)} = \ frac {P \ left (A \ right) \ cdotP \ pa kreisi (B} {P \ pa kreisi (B \ pa labi)} \\ & \ textbf {kur:} \\ & P \ pa kreisi (A \ pa labi) = \ teksts {Notikumu iespējamība} \\ & P \ pa kreisi (B \ pa labi) = \ teksts {B rašanās varbūtība} \\ & P \ pa kreisi (A | B \ pa labi) = \ teksts {A varbūtība, ka dots B} \\ & P \ pa kreisi (B | A \ pa labi) = \ teksts {B varbūtība, ņemot vērā A} \\ & P \ pa kreisi (A \ bigcap {B} \ pa labi)) = \ teksts {gan A, gan B varbūtība} \\ \ beigas {saskaņots} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A), kur: P (A) = varbūtība, ka notiek P (B) = B iestāšanās varbūtībaP (A∣B) = A varbūtība, ka dots BP (B∣A) = B varbūtība, ka dots AP (A⋂B)) = Gan A, gan B varbūtība
Izskaidrota Beisa teorēma
Teorēmas pielietojums ir plaši izplatīts un neaprobežojas tikai ar finanšu jomu. Piemēram, Beisa teorēmu var izmantot, lai noteiktu medicīnisko pārbaužu rezultātu precizitāti, ņemot vērā, cik liela varbūtība kādai konkrētai personai ir kāda slimība, un vispārējo testa precizitāti. Bailija teorēma balstās uz iepriekšēju varbūtības sadalījumu iekļaušanu, lai iegūtu aizmugures varbūtības. Iepriekšējā varbūtība Bajesijas statistiskajā secinājumā ir notikuma varbūtība pirms jaunu datu savākšanas. Tas ir labākais racionālais iznākuma varbūtības novērtējums, pamatojoties uz pašreizējām zināšanām pirms eksperimenta veikšanas. Aizmugurējā varbūtība ir pārskatīta notikuma varbūtība, ņemot vērā jauno informāciju. Aizmugurējā varbūtība tiek aprēķināta, atjauninot iepriekšējo varbūtību, izmantojot Beisa teorēmu. Statistikas izteiksmē aizmugures varbūtība ir notikuma A iespējamība, ņemot vērā, ka notikums B ir noticis.
Tādējādi Bailsa teorēma dod notikuma varbūtību, pamatojoties uz jaunu informāciju, kas ir vai var būt saistīta ar šo notikumu. Formulu var izmantot arī, lai redzētu, kā hipotētiska jauna informācija ietekmē notikuma iespējamību, pieņemot, ka jaunā informācija izrādīsies patiesa. Piemēram, teiksim, ka viena karte tiek izvilkta no visa 52 kāršu klāja. Varbūtība, ka karte ir karalis, ir 4 dalīta ar 52, kas ir vienāda ar 1/13 vai aptuveni 7, 69%. Atcerieties, ka klājā ir 4 karaļi. Tagad pieņemsim, ka tiek atklāts, ka izvēlētā karte ir sejas karte. Varbūtība, ka izvēlētā karte ir karalis, ņemot vērā, ka tā ir sejas karte, ir 4 dalīta ar 12 jeb aptuveni 33, 3%, jo klājā ir 12 sejas kārtis.
Ar piemēru iegūst Beisija teorēmas formulu
Beija teorēma izriet vienkārši no nosacītās varbūtības aksiomām. Nosacītā varbūtība ir notikuma varbūtība, ņemot vērā, ka notika cits notikums. Piemēram, vienkāršs varbūtības jautājums var uzdot: "Kāda ir Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN) akciju cenas krišanās varbūtība?" Nosakot varbūtību, šis jautājums tiek solīts tālāk, jautājot: "Cik liela ir varbūtība, ka AMZN akciju cena samazināsies, ņemot vērā to, ka Dow Jones Industrial Average (DJIA) indekss kritās agrāk?"
A nosacīto varbūtību, ņemot vērā, ka B ir noticis, var izteikt šādi:
Ja A ir: "AMZN cena krītas", tad P (AMZN) ir varbūtība, ka AMZN samazinās; un B ir: "DJIA jau ir nolaists", un P (DJIA) ir varbūtība, ka DJIA nokrita; tad nosacītās varbūtības izteiksme ir šāda: "varbūtība, ka AMZN samazinās, ņemot vērā DJIA kritumu, ir vienāda ar varbūtību, ka AMZN cena pazeminās, un DJIA samazinās par varbūtību, ka samazinās DJIA indekss.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN un DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN un DJIA) ir gan A, gan B iespējamība. Tas ir arī tāds pats kā A rašanās varbūtība, kas reizināta ar varbūtību, ka B notiek, ņemot vērā, ka A notiek, izteikta kā P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Fakts, ka šie divi izteicieni ir vienādi, noved pie Bajesa teorēmas, kas tiek uzrakstīta šādi:
ja, P (AMZN un DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
tad P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Kur P (AMZN) un P (DJIA) ir Amazon un Dow Jones krišanās varbūtība, neņemot vērā viens otru.
Formula izskaidro saistību starp hipotēzes varbūtību, pirms tiek parādīti pierādījumi, ka P (AMZN), un hipotēzes varbūtību pēc pierādījumu iegūšanas P (AMZN | DJIA), ņemot vērā hipotēzi par Amazon sniegtajiem pierādījumiem Dow.
Bailsa teorēmas skaitliskais piemērs
Kā skaitlisku piemēru iedomājieties, ka ir kāds narkotiku tests, kura precizitāte ir 98%, tas nozīmē, ka 98% laika tas parāda patiesi pozitīvu rezultātu kādam, kurš lieto šo narkotiku, un 98% laika tas parāda patiesi negatīvu rezultātu narkotiku nelietotājiem. narkotiku. Tālāk pieņemsim, ka 0, 5% cilvēku lieto šo narkotiku. Ja pēc nejaušības principa izraudzīta cilvēka narkotisko vielu pārbaude ir pozitīva, var veikt šādu aprēķinu, lai noskaidrotu, vai varbūtība, ka persona faktiski ir narkotiku lietotāja.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Bejasa teorēma parāda, ka pat tad, ja persona šajā scenārijā ir novērtēta pozitīvi, patiesībā ir daudz lielāka iespēja, ka persona nav narkotiku lietotāja.
Investīciju kontu salīdzināšana Piegādātāja nosaukums Apraksts Reklāmdevēja atklāšana × Piedāvājumi, kas parādās šajā tabulā, ir no partnerībām, no kurām Investtopedia saņem kompensāciju.