Izpratne par binomālo iespēju cenu noteikšanas modeli

Vienoties par precīzu cenu noteikšanu jebkuram tirgojamam aktīvam ir izaicinājums - tāpēc akciju cenas pastāvīgi mainās. Patiesībā uzņēmumi gandrīz nemaina savus vērtējumus katru dienu, bet to akciju cenas un vērtējumi mainās gandrīz katru sekundi. Šīs grūtības panākt vienprātību par jebkura tirgojamā aktīva pareizu cenu noteikšanu rada īslaicīgas arbitrāžas iespējas.

Bet daudz veiksmīgu ieguldījumu ir saistīts ar vienkāršu jautājumu par šodienas novērtēšanu - kāda ir pareizā pašreizējā cena šodien gaidāmajai izmaksai nākotnē?

Binominālo iespēju novērtēšana

Konkurences tirgū, lai izvairītos no arbitrāžas iespējām, aktīviem ar identisku izmaksu struktūru jābūt vienādai cenai. Iespēju novērtēšana ir bijis grūts uzdevums, un cenu izmaiņas rada arbitrāžas iespējas. Black-Scholes joprojām ir viens no populārākajiem modeļiem, ko izmanto cenu noteikšanas iespējām, taču tam ir ierobežojumi.

Binomālo iespēju cenu noteikšanas modelis ir vēl viena populāra metode, ko izmanto cenu noteikšanas iespējām.

Piemēri

Pieņemsim, ka konkrētam akcijai ir pirkšanas iespēja ar pašreizējo tirgus cenu 100 USD. Naudas iemaksas (ATM) izvēles cena ir 100 ASV dolāru ar laiku līdz viena gada beigām. Ir divi tirgotāji, Pēteris un Paula, kuri abi ir vienisprātis, ka akciju cena vienā gadā palielināsies līdz 110 USD vai pazemināsies līdz 90 USD.

Viņi vienojas par paredzamajiem cenu līmeņiem noteiktā viena gada laikā, bet nepiekrīt augšup vai lejup pacelšanās varbūtībai. Pīters uzskata, ka varbūtība, ka akciju cena sasniegs 110 USD, ir 60%, savukārt Paula uzskata, ka tā ir 40%.

Pamatojoties uz to, kurš būtu gatavs maksāt vairāk cenas par zvana iespēju? Iespējams, Pēteris, jo viņš sagaida lielu varbūtību augšupceļam.

Binominālo iespēju aprēķini

Divi aktīvi, no kuriem novērtēšana ir atkarīga, ir pirkšanas iespēja un pamatā esošie krājumi. Dalībnieki ir vienojušies, ka pamatā esošā akciju cena var mainīties no pašreizējiem 100 USD uz 110 USD vai 90 USD vienā gadā, un citas cenu izmaiņas nav iespējamas.

Bez arbitrāžas pasaulē, ja jums ir jāizveido portfelis, kas sastāv no šiem diviem aktīviem, pirkšanas iespējas un bāzes akcijām, tā, ka neatkarīgi no tā, kur iet bāzes cena - 110 USD vai 90 USD - portfeļa neto atdeve vienmēr paliek tāda pati . Pieņemsim, ka, lai izveidotu šo portfeli, jūs pērkat pamata un īstermiņa viena pirkuma opcijas “d” akcijas.

Ja cena sasniegs USD 110, jūsu akciju vērtība būs USD 110 * d, un, zaudējot īso zvanu, jūs zaudēsit 10 USD. Jūsu portfeļa neto vērtība būs (110d - 10).

Ja cena samazināsies līdz USD 90, jūsu akciju vērtība būs USD 90 * d, un opcija beigsies bezvērtīgi. Jūsu portfeļa neto vērtība būs (90d).

Ja vēlaties, lai jūsu portfeļa vērtība nemainītos neatkarīgi no tā, kur notiek bāzes cena, abos gadījumos jūsu portfeļa vērtībai vajadzētu palikt nemainīgai:

h (d) −m = l (d) kur: h = visaugstākā iespējamā bāzes cena = pakārtoto akciju skaits m = nauda, ​​kas zaudēta, veicot īso sarunu izmaksu = zemākā iespējamā bāzes cena \ sākas {izlīdzināta} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {kur:} \\ & h = \ teksts {Augstākā iespējamā bāzes cena} \\ & d = \ teksts {Pamatā esošo akciju skaits} \\ & m = \ teksts {Nauda, ​​kas zaudēta, veicot īsu zvana izmaksu} \\ & l = \ teksts {Zemākā iespējamā bāzes cena} \\ \ beigas {izlīdzināts} h (d) −m = l (d) kur: h = augstākā iespējamā bāzes cena = pamatā esošo akciju skaits m = nauda, ​​kas zaudēta īsa zvana laikā payoffl = zemākā iespējamā bāzes cena

Tātad, ja jūs pērkat pusi akcijas, pieņemot, ka ir iespējami dalīti pirkumi, jums izdosies izveidot portfeli tā, lai tā vērtība abos iespējamajos stāvokļos paliek nemainīga noteiktā viena gada laikā.

110d − 10 = 90dd = 12 \ sākas {saskaņots} un 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ beigas {izlīdzināts} 110d − 10 = 90dd = 21

Šī portfeļa vērtība, kas apzīmēta ar (90d) vai (110d - 10) = 45, ir viens gads zem līnijas. Lai aprēķinātu tās pašreizējo vērtību, to var diskontēt ar bezriska atdeves likmi (pieņemot, ka 5%).

Pašreizējā vērtība = 90d × e (−5% × 1 gads) = 45 × 0, 9523 = 42.85 \ sākas {saskaņots} \ teksts {pašreizējā vērtība} & = 90d \ reizes e ^ {(-5 \% \ reizes 1 \ teksts {Gads})} \\ & = 45 \ reizes 0, 9523 \\ & = 42.85 \\ \ beigas {izlīdzināts} Pašreizējā vērtība = 90d × e (−5% × 1 gads) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Tā kā šobrīd portfeli veido ½ pamata akciju daļa (ar tirgus cenu 100 USD) un viens īss zvans, tam jābūt vienādam ar pašreizējo vērtību.

12 × 100−1 × Zvana cena = 42, 85 USDZvanīšanas cena = 7, 14 USD, ti, šodienas zvana cena \ sākas {izlīdzināta} un \ frac {1} {2} \ reizes 100 - 1 \ reizes \ teksts {Zvana cena} = \ 422, 85 $ \\ & \ teksts {Zvana cena} = \ 7, 14 USD \ teksts {, ti, zvana cena šodienas laikā} \\ \ beigas {izlīdzināta} 21 × 100−1 × Zvana cena = 42.85 USDZvana cena = 7.14 USD, t. šodienas zvana cena

Tā kā tas balstās uz pieņēmumu, ka portfeļa vērtība paliek nemainīga neatkarīgi no tā, kādā virzienā iet bāzes cena, augšupvērstā vai lejupslīdes varbūtībai nav nozīmes. Portfelis paliek bez riska neatkarīgi no bāzes cenu izmaiņām.

Abos gadījumos (pieņemot, ka pieaugs līdz USD 110 un lejup pārcelsies uz USD 90), jūsu portfelis ir neitrāls pret risku un nopelna bezriska atdeves likmi.

Tāpēc abi tirgotāji, Pēteris un Paula, būtu gatavi maksāt to pašu 7, 14 USD par šo pirkšanas iespēju, neskatoties uz atšķirīgo izpratni par augšupcelšanās varbūtību (60% un 40%). Viņu individuāli uztvertajām varbūtībām opcijas vērtēšanā nav nozīmes.

Tā vietā, pieņemot, ka nozīme ir individuālajām varbūtībām, iespējams, parādījās arbitrāžas iespējas. Reālajā pasaulē šādas arbitrāžas iespējas pastāv ar nelielām cenu atšķirībām un īstermiņā izzūd.

Bet kur ir visu šo aprēķinu lielā mērā mainīgā nepastāvība, svarīgs un jutīgs faktors, kas ietekmē iespēju cenu noteikšanu?

Nepastāvību jau iekļauj problēmas definīcijas raksturs. Pieņemot, ka cenu līmeņa divi (un tikai divi - tātad nosaukums “binomial”) (110 USD un 90 USD), nepastāvība tiek netieši iekļauta šajā pieņēmumā un tiek iekļauta automātiski (šajā piemērā 10% katrā ziņā).

Melnais-Scholes

Bet vai šī pieeja ir pareiza un saskan ar parasti izmantotajām Black-Scholes cenām? Opciju kalkulatora rezultāti (ar OIC atļauju) cieši sakrīt ar aprēķināto vērtību:

Diemžēl reālā pasaule nav tik vienkārša kā “tikai divas valstis”. Krājumi var sasniegt vairākus cenu līmeņus pirms laika beigām.

Vai ir iespējams iekļaut visus šos daudzos līmeņus binomālā cenu noteikšanas modelī, kas ir ierobežots tikai divos līmeņos. "

Vienkārša matemātika

Lai vispārinātu šo problēmu un risinājumu:

"X" ir pašreizējā akcijas tirgus cena, un "X * u" un "X * d" ir nākotnes cenas augšup un lejup virzībai "t" gadus vēlāk. Faktors "u" būs lielāks par vienu, jo tas norāda kustību uz augšu un "d" atradīsies starp nulli un vienu. Iepriekšminētajā piemērā u = 1, 1 un d = 0, 9.

Zvana opcijas izmaksas ir “P _up ” un “P _dn ” augšup un lejup vērstām kustībām derīguma termiņa beigās.

Ja veidojat šodien nopirkto "s" akciju portfeli un īsu viena pirkuma iespēju, pēc laika "t":

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = portfeļa vērtība augšupcelšanās gadījumā \ sākt {saskaņots} un \ teksts {VUM} = s \ reizes X \ reizes u - P_ \ teksts {uz augšu} \\ & \ textbf {kur:} \\ & \ teksts {VUM} = \ teksts {Portfeļa vērtība pārvietošanās uz augšu gadījumā} \\ \ beigas {saskaņots} VUM = s × X × u − Kucēns, kur: VUM = Portfeļa vērtība augšupejas gadījumā

VDM = s × X × d − lejupslīde: VDM = portfeļa vērtība pārvietošanās uz leju gadījumā \ sāk {izlīdzināt} un \ teksts {VDM} = s \ reizes X \ reizes d - P_ \ teksts {uz leju} \\ & \ textbf {kur:} \\ & \ teksts {VDM} = \ teksts {Portfeļa vērtība pārvietošanās uz leju gadījumā} \\ \ beigas {izlīdzināts} VDM = s × X × d − Lejup, kur: VDM = Portfeļa vērtība lejupslīdes gadījumā

Par līdzīgu novērtēšanu abos cenu pārmaiņas gadījumos:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u− Kucēns = s × X × d – Pdown

s = kucēns − lejupslīde × (u − d) = iegādājamo akciju skaits = bezriska portfelis \ sākas {saskaņots} s & = \ frac {P_ \ teksts {uz augšu} - P_ \ teksts {uz leju} } {X \ reizes (u - d)} \\ & = \ text {Iegādājamo akciju skaits} \\ & \ fantoms {=} \ text {bezriska portfelis} \\ \ beigas {saskaņots} s = X × (u − d) Pup − Down - iegādājamo akciju skaits = bezriska portfelis

Portfeļa nākotnes vērtība "t" gadu beigās būs:

Augšupcelšanās gadījumā = s × X × u − kucēns = kucēns − lejupslīdes − d × u − kucēns \ jāsāk {jāsaskaņo} \ teksts {pārvietošanas augšup gadījumā} & = s \ reizes X \ reizes u - P_ \ teksts {uz augšu} \\ & = \ frac {P_ \ teksts {uz augšu} - P_ \ teksts {uz leju}} {u - d} \ reizes u - P_ \ teksts {uz augšu} \\ \ beigas {izlīdzināts} Gadījumā, ja Augšup Pārvietot = s × X × u − Kucēns = u − dPup − Lejup × u − Kucēns

Pārvietošanās uz leju gadījumā = s × X × d − Lejup = Pup − Pdownu − d × d − Lejup \ sāk {saskaņot} \ tekstu {Pārvietošanās uz leju gadījumā} & = s \ reizes X \ reizes d - P_ \ teksts {uz leju} \\ & = \ frac {P_ \ teksts {uz augšu} - P_ \ teksts {uz leju}} {u - d} \ reizes d - P_ \ teksts {uz leju} \\ \ beigas {izlīdzināts} Gadījumā, ja Pārvietot uz leju = s × X × d – lejup = u – dPup – lejup × d – lejup

Mūsdienu vērtību var iegūt, diskontējot to ar bezriska atdeves likmi:

PV = e (rt) × [kucēns − lejupslīde – d × u – kucēns], kur: PV = pašreizējās dienas vērtētājs = atgriešanās koeficients = laiks, gados \ sākas {saskaņots} & \ teksts {PV} = e (-rt) \ reizes \ pa kreisi [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { kur:} \\ & \ teksts {PV} = \ teksts {šodienas vērtība} \\ & r = \ teksts {atdeves likme} \\ & t = \ teksts {laiks, gados} \\ \ beigas {izlīdzināts} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup] kur: PV = pašreizējās dienas vērtības koeficients = atgriešanās koeficients = laiks gados

Tam vajadzētu sakrist ar “s” akciju portfeļa turēšanu X cenā, un īstermiņa sarunu vērtībai “c” (šodienas turējumam (s * X - c) vajadzētu būt pielīdzināmam šim aprēķinam.) “C” risinājums visbeidzot dod kā:

Piezīme: ja zvana piemaksa ir saīsināta, tai vajadzētu būt portfeļa papildinājumam, nevis atņemšanai.

c = e (−rt) u − d × [(e (rt) −d) × Pup + (u − e (rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ reizes [(e (-rt) - d) \ reizes P_ \ teksts {uz augšu} + (u - e (-rt)) \ reizes P_ \ teksts {uz leju}] c = u − de (−rt) × [(e (rt) −d) × kucēns + (u − e (rt)) × lejupslīde]

Vēl viens veids, kā uzrakstīt vienādojumu, ir to pārkārtot:

Izmantojot "q" kā:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Tad vienādojums kļūst:

c = e (−rt) × (q × kucēns + (1 − q) × lejupslīde) c = e (-rt) \ reizes (q \ reizes P_ \ teksts {uz augšu} + (1 - q) \ reizes P_ \ teksts {uz leju}) c = e (−rt) × (q × kucēns + (1 − q) × lejupslīde)

Vienādojuma pārkārtošana “q” izteiksmē piedāvā jaunu perspektīvu.

Tagad jūs varat interpretēt “q” kā pamatsummas pārvietošanās varbūtību (jo “q” ir saistīts ar P _up un “1-q” ir saistīts ar P _dn ). Kopumā vienādojums atspoguļo šodienas opcijas cenu, tās izmaksas diskontēto vērtību termiņa beigās.

Šis "Q" ir atšķirīgs

Kā šī varbūtība “q” atšķiras no pamatā esošās kustības varbūtības augšupvērstā vai lejupvērstā “>

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d kur: VSP = Akcijas cenas vērtība laikā t \ sākas {saskaņota} un \ teksts {VSP} = q \ reizes X \ reizes u + (1 - q) \ reizes X \ reizes d \\ & \ textbf {kur:} \\ & \ teksts {VSP} = \ teksts {Akcijas cenas vērtība laikā} t \\ \ beigas {saskaņota} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d kur: VSP = Akcijas cenas vērtība laikā t

Aizstājot "q" vērtību un pārkārtojot, akciju cena laikā "t" ir šāda:

Akcijas cena = e (rt) × X \ sākas {izlīdzināts} & \ teksts {Akcijas cena} = e (rt) \ reizes X \\ \ beigas {izlīdzināts} Akcijas cena = e (rt) × X

Šajā pieņemtajā divu valstu pasaulē akciju cena vienkārši palielinās par bezriska ienesīguma likmi, tieši tāpat kā bezriska aktīvs, un tādējādi tā paliek neatkarīga no jebkāda riska. Investori ir vienaldzīgi pret risku saskaņā ar šo modeli, tāpēc tas veido risku neitrālu modeli.

Varbūtība “q” un “(1-q)” ir zināma kā risku neitrāla varbūtība, un vērtēšanas metode ir zināma kā riska neitrāla vērtēšanas modele.

Piemēra scenārijam ir viena svarīga prasība - nākotnes izmaksas struktūra ir nepieciešama precīzi (līmenis 110 USD un 90 USD). Reālajā dzīvē šāda skaidrība par pakāpēm balstītu cenu līmeni nav iespējama; drīzāk cena mainās nejauši un var norēķināties vairākos līmeņos.

Lai paplašinātu piemēru tālāk, pieņemiet, ka ir iespējami divpakāpju cenu līmeņi. Mēs zinām otrā posma pēdējās izmaksas un mums šodien (sākotnējā posmā) ir jānovērtē opcija:

Atskatoties atpakaļ, pirmā pakāpiena starpposma novērtējumu (t = 1) var veikt, izmantojot galīgās izmaksas otrajā solī (t = 2), pēc tam izmantojot šo aprēķināto pirmā soļa vērtējumu (t = 1), šodienas novērtējumu (t = 0) var sasniegt ar šiem aprēķiniem.

Lai iegūtu opcijas cenu otrajā vietā, tiek izmantotas četras un piecas izmaksas. Lai iegūtu cenu par trešo numuru, tiek izmantotas piecas un sešas izmaksas. Visbeidzot, aprēķinātās izmaksas divos un trīs gadījumos tiek izmantotas, lai iegūtu cenu noteikšanu pirmajā vietā.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka šajā piemērā tiek pieņemts viens un tas pats faktors kustībām augšup (un lejup) abos posmos - u un d tiek izmantotas sarežģītā veidā.

Darba piemērs

Pieņemsim, ka pārdošanas iespējas līgums, kura pārdošanas cena ir 110 USD, pašlaik tirgojas pie USD 100 un beidzas viena gada laikā. Gada bezriska likme ir 5%. Paredzams, ka cena pieaugs par 20% un samazināsies par 15% ik pēc sešiem mēnešiem.

Šeit u = 1, 2 un d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

izmantojot iepriekš iegūto formulu

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

mēs iegūstam q = 0, 35802832

pārdošanas iespējas vērtība 2. punktā,

p2 = e (−rt) × (p × kucēns + (1 − q) Pupdn), kur: p = pārdošanas iespējas cena \ sākas {izlīdzināts} un p_2 = e (-rt) \ reizes (p \ reizes P_ \ teksts {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {kur:} \\ & p = \ text {Put opcijas cena} \\ \ beigas {saskaņots} p2 = e (−rt) × (p × kucēns + (1 − q) Pupdn) kur: p = pārdošanas iespējas cena

P _{augšupielādes} apstākļos pamatā esošā vērtība būs = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 ASV dolāri, kas noved pie tā, ka P _{augšupielāde} = nulle

P _updn apstākļos bāzes vērtība būs = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 USD, kas noved pie P _updn = 8 USD

P _dndn apstākļos pamatā esošā vērtība būs = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 USD, kas noved pie P _dndn = 37, 75 USD.

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Līdzīgi, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ reizes (q \ reizes p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Un tātad pārdošanas iespējas vērtība, p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = 18, 29 USD.

Līdzīgi binomiālie modeļi ļauj sadalīt visu opcijas ilgumu, lai vēl vairāk uzlabotu vairākus soļus un līmeņus. Izmantojot datorprogrammas vai izklājlapas, jūs varat soli atpakaļ vienu soli atpakaļ, lai iegūtu vēlamās opcijas pašreizējo vērtību.

Vēl viens piemērs

Pieņemsim, ka Eiropas līmeņa pārdošanas iespējas termiņš ir deviņi mēneši, bāzes cena 12 USD un pašreizējā bāzes cena 10 USD. Pieņemiet bezriska likmi 5% par visiem periodiem. Pieņemsim, ka ik pēc trim mēnešiem bāzes cena var pārvietoties par 20% uz augšu vai uz leju, dodot mums u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 un trīspakāpju divdomīgo koku.

Sarkans norāda bāzes cenas, bet zils norāda pārdošanas iespēju apmaksu.

Riska neitrāla varbūtība "q" tiek aprēķināta līdz 0, 531446.

Izmantojot iepriekšminēto "q" vērtību un izmaksu vērtības t = deviņos mēnešos, atbilstošās vērtības t = sešos mēnešos aprēķina šādi:

Turklāt, izmantojot šīs aprēķinātās vērtības pie t = 6, vērtības t = 3, tad t = 0 ir:

Tas dod pārdošanas iespējas šodienas vērtību USD 2.18, kas ir diezgan tuvu tam, ko jūs varētu atrast veicot aprēķinus, izmantojot Black-Scholes modeli ($ 2, 30).

Grunts līnija

Kaut arī datorprogrammu izmantošana var padarīt šos intensīvos aprēķinus vienkāršus, nākotnes cenu prognozēšana joprojām ir būtisks binomiālo modeļu ierobežojums opciju cenu noteikšanā. Jo precīzāki laika intervāli, jo grūtāk ir precīzi paredzēt izmaksas katra perioda beigās.

Tomēr elastīgums, iekļaujot dažādos periodos gaidāmās izmaiņas, ir pluss, kas padara to piemērotu amerikāņu iespēju cenu noteikšanai, ieskaitot agrīnu novērtējumu.

Vērtības, kas aprēķinātas, izmantojot binomālo modeli, precīzi atbilst vērtībām, kas aprēķinātas no citiem parasti izmantotajiem modeļiem, piemēram, Black-Scholes, kas norāda binominālo modeļu lietderību un precizitāti opciju cenu noteikšanā. Binomu cenu noteikšanas modeļus var izstrādāt pēc tirgotāja vēlmēm, un tie var darboties kā alternatīva Black-Scholes.