Lognormālais un normālais sadalījums

Finanšu matemātika var būt nedaudz mulsinoša un garlaicīga. Par laimi vairums datorprogrammu veic sarežģītus aprēķinus. Tomēr, izvēloties atbilstošu drošību un iegūstot vēlamo ietekmi uz portfeli, ir svarīgi izprast dažādus statistikas terminus un metodes, to nozīmi un to, kas vislabāk analizē ieguldījumus.

Viens svarīgs lēmums ir izvēlēties starp normālo vai lognormālo sadalījumu, uz abiem bieži atsaucas zinātniskā literatūra. Pirms izvēles jums jāzina:

• Kas tie ir
• Kādas atšķirības pastāv starp tām?
• Kā tie ietekmē ieguldījumu lēmumus

Normal versus Lognormal

Statistiskajā matemātikā izmanto gan normālo, gan lognormālo sadalījumu, lai aprakstītu notikuma iespējamību. Monētas pagriešana ir viegli saprotams varbūtības piemērs. Ja jūs reizes reizes pagriežat monētu, kāds ir rezultātu sadalījums? Tas ir, cik reizes tas nolaidīsies uz galvas vai astes? Pastāv 50% varbūtība, ka tas nolaidīsies uz galvas vai astes. Šis pamata piemērs apraksta rezultātu varbūtību un sadalījumu.

Pastāv daudz veidu sadalījumu, no kuriem viens ir parastais vai zvanu līknes sadalījums. (Skatīt 1. attēlu)

Normālā sadalījumā 68% (34% + 34%) rezultātu ietilpst vienā standartnovirzē, un 95% (68% + 13, 5% + 13, 5%) ietilpst divās standarta novirzēs. Centrā (attēla augšpusē esošais 0 punkts) vidējā vērtība (kopas vidējā vērtība), režīms (vērtība, kas notiek visbiežāk) un vidējā vērtība (vidējais aritmētiskais) ir vienādi.

Lognormālais sadalījums vairākos veidos atšķiras no normālā sadalījuma. Būtiska atšķirība ir tās formā: normālais sadalījums ir simetrisks, turpretī lognormālais sadalījums nav. Tā kā lognormāla sadalījuma vērtības ir pozitīvas, tās rada taisni izliektu līkni. (Skatīt 2. attēlu)

Šis šķībs ir svarīgs, lai noteiktu, kuru sadalījumu ir lietderīgi izmantot lēmumu pieņemšanā par ieguldījumiem. Papildu atšķirība ir tā, ka vērtības, ko izmanto, lai iegūtu logaritmālā sadalījumu, parasti tiek sadalītas.

Paskaidrosim ar piemēru. Investors vēlas uzzināt paredzamo akciju cenu nākotnē. Tā kā krājumi aug sarežģītā tempā, viņai jāizmanto pieauguma faktors. Lai aprēķinātu iespējamās gaidāmās cenas, viņa ņems pašreizējo akciju cenu un reizinās to ar dažādām peļņas likmēm (kas ir matemātiski atvasināti eksponenciālie koeficienti, kuru pamatā ir salikšana), kuras pieņem, ka parasti tiek sadalītas. Kad ieguldītājs nepārtraukti apvieno atdevi, viņa izveido logaritmisku sadalījumu. Šis sadalījums vienmēr ir pozitīvs, pat ja daži ienesīguma rādītāji ir negatīvi, kas normāla sadalījuma gadījumā notiks 50% laika. Nākotnes akciju cena vienmēr būs pozitīva, jo akciju cenas nevar nokrist zem 0 USD.

Kad lietot parasto versus lognormālo sadalījumu

Iepriekšējais piemērs mums palīdzēja nonākt pie tā, kas investoriem patiešām ir svarīgs: kad izmantot katru metodi. Lognormal ir ārkārtīgi noderīgs, analizējot akciju cenas. Kamēr tiek pieņemts, ka izmantotais augšanas faktors ir normāli sadalīts (kā mēs pieņemam ar atdeves ātrumu), lognormālajam sadalījumam ir jēga. Parasto sadalījumu nevar izmantot akciju cenu modelēšanai, jo tam ir negatīvā puse, un akciju cenas nevar nokrist zem nulles.

Vēl viena līdzīga lognormāla sadalījuma izmantošana ir opciju cenu noteikšana. Black-Scholes modelis, kas izmantots opciju cenu noteikšanai, par pamatu opciju cenu noteikšanai izmanto lognormālo sadalījumu.

Pretēji tam, aprēķinot kopējo portfeļa ienesīgumu, normāls sadalījums darbojas labāk. Tiek izmantots parastais sadalījums, jo vidējā svērtā atdeve (portfeļa vērtspapīra svara un tā atdeves likmes reizinājums) ir precīzāka, aprakstot faktisko portfeļa ienesīgumu (pozitīvu vai negatīvu), it īpaši, ja svērumi atšķiras par lielā mērā. Šis ir tipisks piemērs:

Portfeļa turēšanas svars atgriež svērto ienesīgumu

Akcijas 40% 12% 40% * 12% = 4, 8%

Krājums B 60% 6% 60% * 6% = 3, 6%

Kopējā svērtā vidējā atdeve = 4, 8% + 3, 6% = 8, 4%

Lai gan kopējo portfeļa ienesīgumu loģiski normāli var aprēķināt ātrāk ilgākā laika posmā, tas nespēj uztvert atsevišķo akciju svaru, kas var ārkārtīgi kropļot ienesīgumu. Arī portfeļa ienesīgums var būt pozitīvs vai negatīvs, un lognormālam sadalījumam neizdosies uztvert negatīvos aspektus.

Grunts līnija

Lai arī nianses, kas atšķir parasto un logaritmisko sadalījumu, lielāko daļu laika mūs var aizbēgt, zināšanas par katra sadalījuma izskatu un īpašībām sniegs ieskatu portfeļa ienesīguma un nākotnes akciju cenu modelēšanā.