Kā izmantot Montekarlo simulāciju ar GBM

Viens no visizplatītākajiem riska novērtēšanas veidiem ir Montekarlo simulācijas (MCS) izmantošana. Piemēram, lai aprēķinātu portfeļa riska vērtību (VaR), mēs varam palaist Montekarlo simulāciju, kas mēģina paredzēt sliktākos iespējamos portfeļa zaudējumus, ņemot vērā ticamības intervālu noteiktā laika posmā (mums vienmēr ir jānorāda divi nosacījumi VaR: pārliecība un horizonts).

Šajā rakstā mēs apskatīsim pamata MCS, kas tiek piemērotas akciju cenai, izmantojot vienu no finanšu jomā visizplatītākajiem modeļiem: ģeometrisko Brauna kustību (GBM). Tāpēc, lai arī Montekarlo simulācija var atsaukties uz dažādu pieeju simulāciju, šeit mēs sāksim ar visvienkāršāko.

Kur sākt

Montekarlo simulācija ir mēģinājums daudzkārt paredzēt nākotni. Simulācijas beigās tūkstošiem vai miljoniem "izlases veida izmēģinājumu" rada rezultātu sadalījumu, ko var analizēt. Pamata darbības ir šādas:

1. Norādiet modeli (piemēram, GBM)

Šim rakstam mēs izmantosim ģeometrisko Brauna kustību (GBM), kas tehniski ir Markova process. Tas nozīmē, ka akciju cena seko nejaušībai un atbilst (vismaz) efektīvās tirgus hipotēzes (EMH) vājajai formai - pagātnes informācija par cenām jau ir iekļauta, un nākamā cenu kustība ir "nosacīti neatkarīga" no pagātnes cenu izmaiņas.

GBM formula ir atrodama zemāk:

Kur:

• S = Akcijas cena
• Δ S = akciju cenas izmaiņas
• μ = paredzamā atdeve
• σ = atgriešanās standarta novirze
• ϵ = izlases lielums
• Δ t = pagājis laika periods

Ja mēs pārkārtojam formulu, lai atrisinātu tikai akciju cenas izmaiņas, mēs redzam, ka GBM saka, ka akciju cenas izmaiņas ir akciju cena "S", kas reizināta ar diviem noteikumiem, kas atrodami iekavās zemāk:

Pirmais termins ir "dreifs", bet otrais - "šoks". Katrā laika posmā mūsu modelis pieņem, ka cena “pieaugs” līdz paredzētajai peļņai. Bet dreifu šokēs (pievienos vai atņems) nejaušs šoks. Nejaušs šoks būs standarta novirze "s", kas reizināta ar izlases numuru "e". Tas ir vienkārši veids, kā palielināt standarta novirzi.

Tāda ir GBM būtība, kā parādīts 1. attēlā. Akciju cena seko darbību virknei, kur katrs solis ir drifta plus vai mīnus izlases trieciens (pats par sevi atkarīgs no krājuma standarta novirzes):

1. attēls

2. Ģenerējiet izlases veida izmēģinājumus

Bruņojušies ar modeļa specifikāciju, pēc tam mēs sākam veikt izlases veida izmēģinājumus. Lai ilustrētu, mēs esam izmantojuši Microsoft Excel, lai palaistu 40 izmēģinājumus. Paturiet prātā, ka tas ir nereāli mazs paraugs; Lielākā daļa simulāciju vai "sims" veic vismaz vairākus tūkstošus izmēģinājumu.

Šajā gadījumā pieņemsim, ka krājumi sākas nulles dienā ar cenu 10 USD. Šeit ir rezultātu diagramma, kurā katrs laika posms (vai intervāls) ir viena diena un sērija ilgst desmit dienas (kopsavilkumā: četrdesmit izmēģinājumi ar ikdienas soļiem desmit dienu laikā):

2. attēls: Ģeometriskā Brauna kustība

Rezultāts ir četrdesmit imitētas akciju cenas 10 dienu beigās. Nevienam nav nokrities zem 9 USD, bet vienam - virs 11 USD.

3. Apstrādājiet izvadi

Simulācija radīja hipotētisku nākotnes rezultātu sadalījumu. Ar iznākumu mēs varētu darīt vairākas lietas.

Ja, piemēram, mēs vēlamies novērtēt VaR ar 95% ticamību, tad mums jāatrod tikai trīsdesmit astotajā vietā esošais iznākums (trešais sliktākais iznākums). Tas ir tāpēc, ka 2/40 ir vienāds ar 5%, tāpēc divi sliktākie rezultāti ir zemākajos 5%.

Ja mēs saliekam ilustrētos rezultātus atkritumu tvertnēs (katra tvertne ir viena trešdaļa no USD 1, tātad trīs tvertnes aptver intervālu no 9 USD līdz 10 USD), mēs iegūsim šādu histogrammu:

3. attēls

Atcerieties, ka mūsu GBM modelī tiek pieņemta normalitāte; cenu atdevi parasti izplata ar paredzamo atdevi (vidējo) "m" un standartnovirzi "s". Interesanti, ka mūsu histogramma neizskatās normāla. Faktiski, veicot vairāk izmēģinājumu, tas nemēdz virzīties uz normalitāti. Tā vietā tā būs tendence uz lognormālu sadalījumu: straujš kritums pa kreisi no vidējā un ļoti šķībs "garais asts" pa labi no vidējā.

Tas bieži vien pirmo reizi studentiem rada potenciāli mulsinošu dinamiku:

• Cenu atdeve parasti tiek izplatīta.
• Cenu līmeņi parasti tiek sadalīti žurnālā.

Padomājiet par to šādi: Akcijas var atgriezties uz augšu vai uz leju 5% vai 10%, bet pēc noteikta laika perioda akciju cena nevar būt negatīva. Turklāt cenu pieaugumam augšupvērstai ietekmei ir kompozīcija, savukārt cenu pazemināšanās lejupvērstajai robežai samazina bāzi: zaudējiet 10%, un nākamreiz jums paliek mazāk, ko zaudēt.

Šeit ir parādīta lognormāla sadalījuma diagramma, kas ir uzlikta uz mūsu ilustrētajiem pieņēmumiem (piemēram, sākuma cena USD 10):

4. attēls

Grunts līnija

Montekarlo simulācija izraudzīto modeli (kas norāda instrumenta uzvedību) piemēro lielam izlases veida izmēģinājumu kopumam, lai mēģinātu radīt ticamu iespējamo nākotnes rezultātu kopumu. Kas attiecas uz akciju cenu simulāciju, visizplatītākais modelis ir ģeometriskā Brauna kustība (GBM). GBM pieņem, ka pastāvīgu dreifēšanu pavada nejauši satricinājumi. Kaut arī perioda peļņa ar GBM parasti tiek sadalīta, sekojošais vairāku periodu (piemēram, desmit dienas) cenu līmenis tiek sadalīts neparasti.