Nepārtraukti salikti procenti

Saliktie procenti ir procenti, kas aprēķināti par sākotnējo pamatsummu, kā arī no iepriekšējo noguldījuma vai aizdevuma periodu uzkrātajiem procentiem. Salikto procentu ietekme ir atkarīga no biežuma.

Pieņemsim, ka gada procentu likme ir 12%. Ja gadu sākam ar 100 USD un saliktu tikai vienu reizi, tad gada beigās pamatsumma palielinās līdz USD 112 (100 USD x 1, 12 = 112 USD). Ja tā vietā mēs katru mēnesi pievienojam 1%, gada beigās mēs iegūstam vairāk nekā USD 112. Tas ir, USD 100 x 1, 01 ^ 12 USD 112, 68 vērtībā. (Tas ir augstāks, jo mēs sastāvam biežāk.)

Nepārtraukti salikts atdod savienojumu visbiežāk no visiem. Nepārtraukta savienošana ir matemātiskā robeža, kuru var sasniegt saliktā interese. Tas ir galējs salikšanas gadījums, jo lielāko daļu procentu veido mēneša, ceturkšņa vai pusgada pārskats.

Pusgada ienesīguma likmes

Vispirms apskatīsim potenciāli neskaidru konvenciju. Obligāciju tirgū mēs atsaucamies uz obligāciju ekvivalento ienesīgumu (vai obligāciju ekvivalenta bāzi). Tas nozīmē, ka, ja obligācijai ir 6% pusgada likme, tad obligācijas ekvivalentam ir 12%.

1. attēls

Pusgada ienesīgums tiek vienkārši divkāršots. Tas var radīt neskaidrības, jo 12% obligācijai ekvivalenta ienesīguma obligācijas faktiskā peļņa ir 12, 36% (ti, 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Pusgada ienesīguma divkāršošana ir tikai obligāciju nosaukšanas konvencija. Tāpēc, ja mēs lasām par 8% obligāciju, kas sastāv no pusgada, mēs pieņemam, ka tā attiecas uz 4% pusgada ienesīgumu.

Ceturkšņa, mēneša un dienas ienesīguma likmes

Tagad apspriedīsim augstākas frekvences. Mēs joprojām pieņemam, ka gada procentu likme ir 12%. Saskaņā ar obligāciju nosaukšanas konvencijām tas nozīmē 6% salikto likmi pusgadā. Tagad mēs varam izteikt ceturkšņa salikto likmi kā tirgus procentu likmes funkciju.

2. attēls

Ņemot vērā gada tirgus likmi ( r), ceturkšņa salikto likmi ( r _q ) aprēķina pēc:

Tātad mūsu piemērā, kur gada tirgus likme ir 12%, ceturkšņa saliktā likme ir 11, 825%:

3. attēls

Līdzīga loģika attiecas uz ikmēneša salikšanu. Mēneša saliktā likme ( r _m ) šeit norādīta kā tirgus gada procentu likmes ( r) funkcija:

Dienas salikto likmi ( d) kā tirgus procentu likmes ( r) funkciju aprēķina:

Kā darbojas nepārtraukts savienojums

4. attēls

Ja mēs palielinām savienojuma biežumu līdz tā robežai, mēs nepārtraukti savienojamies. Lai arī tas var nebūt praktiski, nepārtraukti kombinētā procentu likme piedāvā brīnišķīgi ērtus īpašumus. Izrādās, ka nepārtraukti kombinēto procentu likmi piešķir:

Ln () ir dabiskais žurnāls, un tāpēc mūsu piemērā nepārtraukti saliktā likme ir šāda:

Mēs nokļūstam tajā pašā vietā, ņemot šīs attiecības dabisko žurnālu: beigu vērtību dalot ar sākuma vērtību.

Pēdējais ir izplatīts, aprēķinot nepārtraukti kombinēto krājuma ienesīgumu. Piemēram, ja krājums palielinās no 10 ASV dolāriem vienā dienā līdz 11 ASV dolāriem nākamajā dienā, nepārtraukto dienas ienesīgumu iegūst:

Kas ir tik lieliski par nepārtraukti kombinēto likmi (vai atdevi), ko mēs apzīmēsim ar r _c ">

Ņemiet vērā, ka e ir eksponenciālā funkcija. Piemēram, ja mēs sākam ar USD 100 un trīs gadu laikā nepārtraukti pievienojam 8%, tad galīgo bagātību piešķir:

Diskontēšana līdz pašreizējai vērtībai (PV) ir tikai salikšana apgriezti, tāpēc nākotnes vērtības (F) pašreizējo vērtību, kas nepārtraukti apvienota ar likmi ( r _c ), aprēķina šādi:

Piemēram, ja jūs saņemat USD 100 trīs gadu laikā ar nepārtrauktu likmi 6%, tā pašreizējo vērtību aprēķina:

Mērogošana vairākos periodos

Nepārtraukti kombinētās atdeves ērtais īpašums ir tas, ka tā mērogojas vairākos periodos. Ja pirmā perioda ienesīgums ir 4%, bet otrā perioda ienesīgums ir 3%, tad divu periodu ienesīgums ir 7%. Ņemiet vērā, ka mēs sākam gadu ar 100 ASV dolāriem, kas pirmā gada beigās palielinās līdz USD 120, bet otrā gada beigās - par USD 150. Nepārtraukti kombinētā peļņa ir attiecīgi 18, 23% un 22, 31%.

Ja tos vienkārši saskaita, mēs iegūstam 40, 55%. Šī ir divu periodu peļņa:

Tehniski runājot, nepārtraukta atgriešanās ir konsekventa laikā. Laika konsekvence ir riska vērtības (VAR) tehniska prasība. Tas nozīmē, ka, ja viena perioda atgriešanās ir normāli sadalīts nejaušs mainīgais, mēs vēlamies, lai normāli tiktu sadalīti arī vairāku periodu nejauši mainīgie. Turklāt parasti tiek sadalīta vairāku periodu nepārtraukta peļņa (atšķirībā no, teiksim, vienkāršas procentuālās atdeves).

Grunts līnija

Gada procentu likmes mēs varam pārveidot pusgada, ceturkšņa, mēneša vai dienas procentu likmēs (vai atdeves likmēs). Visizplatītākais savienojums ir nepārtraukta savienošana, kas prasa izmantot dabisko žurnālu un eksponenciālo funkciju, ko parasti izmanto finansēs vēlamo īpašību dēļ - tā viegli mērogojas vairākos periodos un ir laika ziņā konsekventa.