Izpētīt eksponenciāli svērto mainīgo vidējo

Svārstīgums ir visizplatītākais riska mērs, taču tam ir vairākas garšas. Iepriekšējā rakstā mēs parādījām, kā aprēķināt vienkāršu vēsturisko nepastāvību. Šajā rakstā mēs pilnveidosim vienkāršu nepastāvību un apspriedīsim eksponenciāli svērto mainīgo vidējo (EWMA).

Vēsturiskā un netiešā nepastāvība

Pirmkārt, aplūkosim šo metriku mazliet perspektīvā. Pastāv divas plašas pieejas: vēsturiskā un netiešā (vai netiešā) nepastāvība. Vēsturiskā pieeja paredz, ka pagātne ir prologs; mēs mēra vēsturi ar cerību, ka tā ir pareģojoša. Turpretī netiešā nepastāvība ignorē vēsturi; tas atrisina nepastāvību, ko rada tirgus cenas. Tā cer, ka tirgus zina vislabāk un ka tirgus cenā, kaut arī netieši, ir konsensa svārstīguma novērtējums.

Ja mēs koncentrējamies tikai uz trim vēsturiskām pieejām (augšpusē pa kreisi), tām ir divas kopīgas darbības:

1. Aprēķiniet periodisko atdevi
2. Pielietojiet svara shēmu

Pirmkārt, mēs aprēķinām periodisko atdevi. Parasti tā ir ikdienas atgriešanās sērija, kurā katra peļņa tiek izteikta nepārtraukti saliktā izteiksmē. Katrā dienā mēs ņemam akciju cenu attiecības dabisko žurnālu (ti, cenu šodien dalām ar vakardienas cenu utt.).

ui = lnsisi − 1viet: ui = atgriešanās dienā isi = akciju cena dienā isi − 1 = akciju cena dienu pirms dienas, kad i \ sākas {saskaņota} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {kur:} \\ & u_i = \ teksts {atgriešanās dienā} i \\ & s_i = \ teksts {akciju cena dienā} i \\ & s_ {i - 1} = \ teksts {akciju cena dienā pirms dienas} i \\ \ beigas {saskaņots} ui = lnsi − 1 si kur: ui = atgriešanās dienā isi = akcijas cena dienā isi − 1 = akciju cena dienu pirms dienas i Visiem, kas tajaa, tas ir jaa.

Tas rada virkni ikdienas atdeves, sākot no u _i līdz u _im, atkarībā no tā, cik dienu (m = dienas) mēs mēra.

Tas mūs novirza uz otro soli: šeit trīs pieejas atšķiras. Iepriekšējā rakstā mēs parādījām, ka saskaņā ar dažiem pieņemamiem vienkāršojumiem vienkāršā dispersija ir vidējā atdeves kvadrātā:

dispersija = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 kur: m = izmērīto dienu skaitsn = dayiu = atdeves atšķirība no vidējās atdeves \ sākt {saskaņota} & \ teksts {dispersija} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {kur:} \\ & m = \ teksts {izmērīto dienu skaits} \\ & n = \ teksts {diena} i \\ & u = \ teksts {atdeves atšķirība no vidējās atdeves} \\ \ beigas {izlīdzināta} dispersija = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12, kur: m = izmērīto dienu skaitsn = dayiu = starpība atgriešanās no vidējās atdeves

Ievērojiet, ka šī summa tiek summēta no periodiskās atgriešanās, pēc tam to dalot ar dienu vai novērojumu skaitu (m). Tātad, tas tiešām ir tikai vidējais kvadrāta periodisko ienesīgums. Citiem vārdiem sakot, katrai kvadrāta peļņai tiek piešķirts vienāds svars. Tātad, ja alfa (a) ir koeficients (konkrēti, a = 1 / m), tad vienkārša dispersija izskatās apmēram šādi:

EWMA uzlabo vienkāršo variantu
Šīs pieejas vājā vieta ir tā, ka visi ienākumi nopelna vienādu svaru. Vakardienas (pavisam nesenā) atgriešanās nav vairāk ietekmējusi novirzes nekā pagājušā mēneša atgriešanās. Šī problēma tiek novērsta, izmantojot eksponenciāli svērto mainīgo vidējo lielumu (EWMA), kurā jaunākiem rezultātiem ir lielāka dispersijas pakāpe.

Eksponenciāli svērtais mainīgais vidējais (EWMA) ievieš lambdu, ko sauc par izlīdzināšanas parametru. Lambdai jābūt mazākai par vienu. Ar šo nosacījumu, nevis vienādu svaru, katru kvadrātā ienesīgumu sver ar reizinātāju šādi:

Piemēram, finanšu risku pārvaldības uzņēmums RiskMetrics ^TM mēdz izmantot lambdu 0, 94 jeb 94%. Šajā gadījumā pirmā (pēdējā) kvadrātā periodiskā peļņa tiek svērta ar (1-0, 94) (. 94) ⁰ = 6%. Nākamā atgriešanās kvadrātā ir tikai iepriekšējā svara lambda-reizinājums; šajā gadījumā 6% reizina ar 94% = 5, 64%. Un trešās iepriekšējās dienas svars ir vienāds ar (1-0, 94) (0, 94) ² = 5, 30%.

Tāda ir "eksponenciālā" nozīme EWMA: katrs svars ir nemainīgs reizinātājs (ti, lambda, kam jābūt mazākam par vienu) no iepriekšējās dienas svara. Tas nodrošina novirzi, kas tiek svērta vai novirzīta uz jaunākiem datiem. Atšķirība starp vienkārši nepastāvīgumu un EWMA Google ir parādīta zemāk.

Vienkāršā nepastāvība faktiski katru periodisko ienesīgumu sver par 0, 196%, kā parādīts O kolonnā (mums bija divu gadu ikdienas akciju cenu dati. Tas ir 509 dienas ienesīgums un 1/509 = 0, 196%). Bet ievērojiet, ka kolonna P piešķir svaru 6%, pēc tam 5, 64%, tad 5, 3% un tā tālāk. Tā ir vienīgā atšķirība starp vienkāršo dispersiju un EWMA.

Atcerieties: pēc tam, kad ir summēta visa sērija (Q kolonnā), mums ir dispersija, kas ir standarta novirzes kvadrāts. Ja vēlamies nepastāvību, mums jāatceras ņemt šīs dispersijas kvadrātsakni.

Kāda ir Google ikdienas atšķirība no dispersijas un EWMA ikdienas svārstībām ">

Šodienas dispersija ir iepriekšējās dienas dispersijas funkcija

Jūs ievērosiet, ka mums bija jāaprēķina ilga virkne eksponenciāli krītošu svaru. Mēs šeit nedarīsim matemātiku, bet viena no labākajām EWMA īpašībām ir tā, ka visa sērija ērti tiek reducēta uz rekursīvu formulu:

σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 kur: λ = svara samazināšanas pakāpeσ2 = vērtība laika periodā nu2 = EWMA vērtība laika posmā n \ sākas {saskaņota} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {kur:} \\ & \ lambda = \ teksts {svara samazināšanas pakāpe} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ teksts {vērtība laika periodā} n \\ & u ^ 2 = \ teksts {EWMA vērtība laika posmā} n \\ \ beigas {izlīdzināts} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 kur: λ = svara samazināšanas pakāpeσ2 = vērtība laika posmā nu2 = EWMA vērtība laika posmā n

Rekursīvs nozīmē, ka šodienas dispersijas atsauces (ti, ir iepriekšējās dienas dispersijas funkcija). Arī šo formulu varat atrast izklājlapā, un tā dod tieši tādu pašu rezultātu kā longhand aprēķins! Tajā teikts: šodienas dispersija (saskaņā ar EWMA) ir vienāda ar vakardienas dispersiju (svērtu pēc lambda) plus vakardienas atgriešanās kvadrātā (kuru sver ar vienu mīnus lambda). Ievērojiet, kā mēs kopā pievienojam tikai divus nosacījumus: vakardienas svērtā dispersija un vakardienas svērtā, kvadrātā atgriešanās.

Pat ja tā, lambda ir mūsu izlīdzināšanas parametrs. Augstāka lambda (piemēram, piemēram, RiskMetric 94%) norāda uz lēnāku sērijas samazinājumu - relatīvā izteiksmē mums sērijā būs vairāk datu punktu, un tie lēnāk "nokritīs". No otras puses, ja mēs samazinām lambdu, mēs norādām uz lielāku samazinājumu: svari ātrāk nokrīt un straujas samazināšanas tiešā rezultātā tiek izmantots mazāk datu punktu. (Izklājlapā lambda ir ievads, tāpēc varat eksperimentēt ar tā jutīgumu).

Kopsavilkums
Svārstīgums ir krājuma momentānais standartnovirze un visizplatītākā riska metrika. Tā ir arī dispersijas kvadrātsakne. Mēs varam izmērīt dispersiju vēsturiski vai netieši (netiešā nepastāvība). Mērot vēsturiski, vienkāršākā metode ir vienkārša dispersija. Bet vājums ar vienkāršu dispersiju ir tas, ka visi ienākumi iegūst vienādu svaru. Tāpēc mēs saskaramies ar klasisku kompromisu: mēs vienmēr vēlamies vairāk datu, bet, jo vairāk datu mums ir, jo vairāk mūsu aprēķinu atšķaida attālināti (mazāk atbilstoši) dati. Eksponenciāli svērtais mainīgais vidējais lielums (EWMA) uzlabojas ar vienkāršu dispersiju, piešķirot svarus periodiskiem atdeves rādītājiem. To darot, mēs varam gan izmantot lielu izlases lielumu, gan arī piešķirt lielāku nozīmi jaunākai atgriešanai.